Comment construire une courbe en cloche ?
L'utilisation des logiciels de calcul formel fait des mathématiques un jeu parce que l'on peut essayer très rapidement des idées que l'on voit immédiatement mises en œuvre. Personnellement, j'utilise le logiciel Maple... au point que c'est devenu mon principal outil : pour calculer, pour écrire, pour penser, pour dessiner, pour faire de la chimie...
Par exemple, si l'on demande au logiciel de tracer la courbe associée à l'équation y = x, on voit une droite partant de l'origine.
C'est quelque chose qui augmente mais qui ne redescend pas, comme on le voudrait pour une courbe en cloche.
Si l'on teste maintenant l'équation y = 1/x, avec le sentiment que quand x deviendra très grand 1/x deviendra très petit, alors tout va bien du côté des x positifs, mais il y a un problème pour les x négatifs, qui tendront vers moins l'infini en approchant de 0.
On pourrait alors s'amuser à prendre la valeur absolue de 1/x, auquel cas on aurait deux morceaux: un à gauche qui monte vers l'infini à un droite qui monte vers l'infini.
On a le sentiment d'y être presque. Cela dit, les valeurs absolues sont facilement remplacé par des carrés et on peut donc rester 1 sur x au carré, mais là encore, pour x = 0, la fonction diverge.
Comment faire ? Il s'agit que le dénominateur ne soit jamais nul. Alors pourquoi pas 1/(1+x^2)... et cette fois on y est : on a une courbe en cloche [ici, l'accent circonflexe indique une puissance].
A ce stade, nous pourrions nous arrêter, mais on comprend que l'on pourrait aussi avoir une courbe en cloche en remplaçant x^2 par x^4, ou par x^6, par exemple.
Mais ce sont là des puissances, qui font croître la courbe de plus en plus vite... Or la fonction exponentielle croit plus vite que toutes les puissances. Que penser de 1/(1+exp(x^2)) ? Une courbe en cloche ! Ou plus simplement de 1 sur exponentielle de x^2 puisque en 0 l'exponentielle prends la valeur 1 et non 0 ? C'est là l'équation d'une gaussienne, nom donné en l'honneur du merveilleux mathématicien Carl Friedrich Gauss.
La première courbe que nous avons réussi à faire, celle en 1/(1 + x^2= et nommé lorentzienne, et ses "jupes" sont beaucoup plus larges que celles de la gaussienne, si l'on peut dire
Quel bonheur que ces logiciels de calcul formel : en a un clic, on trace la courbe d'une fonction.
