Vive le calcul !

La science, c'est le calcul, et le calcul, c'est un grand bonheur...


La massification des systèmes d'enseignement a conduit un nombre croissant de citoyens à juger que le calcul, les mathématiques, étaient rebutants. D'une part, avec des classes nombreuses, les enseignants du premier degré (l'école) et du second degré (le collège, le lycée) n'ont que difficilement la possibilité de faire comprendre aux jeunes les merveilles du calcul, du raisonnement abstrait, formel.
Sans compter que nombre d'enseignants eux-mêmes n'apprécient pas toujours ces beautés.


Pourtant... Pourtant, le calcul est  la clé de raisonnements raisonnements généraux, puissants.
Et pourtant, son abstraction n'est pas synonyme d'éloignement particulier par rapport au réel, contrairement à ce que l'on dit hâtivement, car un enfant qui pleure après sa mère n'est-il pas dans l'abstraction, dès le berceau.
Et nos catégories mentales ne sont-elles pas toutes abstraites ?


D'autre part, ce que l'on a suffisamment expliqué, c'est que les pères du calcul formel, tels Leibnitz, Descartes..., ont précisément créé ce calcul parce que les mots étaient encombrants et qu'ils cherchaient des moyens rapides, efficaces, de manier, les idées, les catégories.
Le calcul fut donc inventé afin de soulager l'esprit, pas de l'embarrasser. Le dire, l'expliquer, devrait être une priorité de cet enseignement.
Au lieu de plonger dans la technique immédiatement, on ferait mieux d'expliquer les raisons de cette technique, les raisons pour lesquelles on a mis cette technique au point, lentement, au cours des siècles.



Un exemple ? Un jour, au XVIII e siècle, un physicien nommé Georg Ohm branche un fil métallique aux bornes d'une pile, et il mesure la différence de potentiel et l'intensité du courant. Il change alors de différence de potentiel, et mesure à nouveau une nouvelle intensité de courant ; puis une autre différence de potentiel, et ainsi de suite...
Regardant les mesures, il observe que la différence de potentiel semble proportionnelle à l'intensité du courant : quand la première est doublée, la seconde aussi. Pour en avoir le coeur net, il calcule le quotient de la différence de potentiel par l'intensité... et il observe, ô merveille!, que le quotient est presque toujours le même. Pas exactement, mais presque !
Il se dit alors que ce sont les erreurs inévitables des mesures qui sont à l'origine des variations, et il énonce que le rapport est en réalité constant. Il trouve une régularité du monde.
Le rapport ? Il le nomme la résistance du fil, sa résistance électrique, une mesure de combien le fil résiste en quelque sorte au passage du courant électrique.

Il y a beaucoup de couples de valeur différence de potentiel -intensité du courant : de quoi remplir une page et des pages, mais si l'on décide de nommer par la lettre U la différence de potentiel et par la lettre I l'intensité du courant, les quotients calculés s'écrivent U/I.
Notons R la résistance et nous obtenons l'égalité R = U/I. Evidemment, puisque nous avons abstrait la différence de potentiel, puisque nous l'avons remplacée par une lettre, nous pouvons mettre n'importe quelle valeur pour cette lettre.
Autrement dit, la relation est R = U/I est universelle : elle s'applique pour n'importe quelle valeur de la différence de potentiel, pour n'importe quelle valeur de l'intensité du courant, pour n'importe fil, caractérisé par sa résistance électrique, à condition que ces valeurs soient toujours liées par la relation R = U/I.
Imaginons que nous ayons maintenant entre les mains le fil dont Ohm est parti. Avec l'égalité R = U/I, il n'est plus nécessaire de faire l'expérience : si nous connaissons la valeur de la différence de potentiel que nous allons appliquer, alors nous pouvons calculer, prévoir, l'intensité du courant qui traversera ce fil métallique.


Dans cet exemple, le calcul est réduit à sa plus simple expression : une égalité, un quotient. Dans d'autres cas, évidemment on enchaîne les équations aux équations, les égalités aux égalités, et l'on monte un échafaudage de plus en plus haut.
Pour arriver au sommet de cet échafaudage, il faudra partir évidemment de la base, il serait d'une présomption inouïe que de vouloir atteindre le sommet sans passer par les différents niveaux.
Bien sûr, certains d'entre nous sont plus agiles, grimpent plus vite, et atteignent plus vite le sommet, mais nous devons tous doivent passer par les mêmes échelons.
Ceux qui n'ont pas l'habitude de montrer ainsi d'étage en étage de calcul trouveront cela difficile, mais ce n'est difficile que pour eux, et ils doivent doit se réjouir, avec au beaucoup d'optimisme, que, l'entraînement les rendra capables de grimper de façon plus agile.
Oui, c'est cela une des beautés du calcul : comme nombre de capacités humaines, le calcul s'apprend, l'on en devient de plus en plus agile à mesure que l'on s'entraîne.
Travaillez, prenez de la peine, c'est le soin qui manque le moins, disait le bon Jean de la Fontaine.



Pour en revenir en calcul, nous avons l'obligation morale de dire à tous autour de nous qu'il s'agit de quelque chose d'amusant, de passionnant, de facile... Et comme le calcul est une des composantes essentielles des sciences quantitatives, nous n'avons pas à nous forcer pour clamer : vive le calcul !







Vient de paraître aux Editions de la Nuée Bleue : Le terroir à toutes les sauces (un traité de la jovialité sous forme de roman, agrémenté de recettes de cuisine et de réflexions sur ce bonheur que nous construit la cuisine)   

Dimanche 28 juillet 2013. Les connaissances et les compétences.

On me connait : je répète que je ne suis pas assuré de mes certitudes. Alors, de mes incertitudes...

En revanche, j'ai la naïveté, le courage (je vois déjà quelques commentaires que je n'afficherai pas ; pardon, mais le ton doit rester mesuré), l'inconscience de discuter d'enseignement. Et pis, je le fais au mépris de la règle qui réclame une saine recherhe bibliographique en préalable aux discussions « scientifiques » (ici, j'écris le mot dans l'acception « savoir général », et pas « sciences quantitatives »). Plus spécifiquement, de la différence entre les connaissances et les compétences.

Il me semble que les compétences sont plus difficiles à obtenir que les connaissances. Ces dernières peuvent se transmettre par des « récits », tandis que les compétences mettent étudiants en situation d'autonomie, souhaitable si l'on veut qu'il devienne secouer le carcan du « Maître ».

Un exemple, l'utilisation de l'expression de l'entropie en fonction du nombre d'états microscopiques (une merveilleuse loi qui s'exprime par S = k ln Ω, où S représente l'entropie, k la constante de Boltzmann, égale à 1,3806488 × 10^-23 m² kg s^-2 K^-1, ln la fonction logarithme népérien, et Ω le nombre de configurations microscopiques associées à un état macroscopique).

La connaissance, dans ce cas, n'est pas compliquée, puisqu'elle se réduit à une définition que même un âne finira par apprendre par coeur pourvu qu'on lui donne carottes et bâton, mais c'est la compétence que l'on doit viser, à savoir que les étudiants, connaissant bien la loi, doivent finir par avoir le quasi réflexe de chercher à l'appliquer, chaque fois qu'ils sont en présence d'un nombre de configurations microscopiques et qu'ils envisagent les questions d'énergie, dont l'entropie (oui : multipliée par la température et avec un signe moins) est une composante.

Rien de difficile, dans cette affaire, mais il faut de la familiarité, et éviter que les étudiants considèrent que l'apprentissage de ces notions est une « peau d'âne », dont ils doivent se débarrasser le plus vite possible après l'examen. D'ailleurs, ajoutons que ce type de connaissances/compétences sont très « locales », et méritent évidemment être placées dans un cadre explicatif plus général. Pour dire les choses très simplement, la plus simple des « lois de la nature » (pensons à U = R . I si l'on a les compétences scientifiques du lycée) doit être apprise dans les conditions de son application (la loi d'Ohm précédente n'est valable que tant que le courant est limité, sans quoi le conducteur chauffe et fond, de sorte que la loi ne s'applique plus). Bref, il n'est pas interdit de réfléchir, quand on apprend.

Il y a quelques jours, dans notre « étincelle scientifique du matin » (une réunion du Groupe INRA/AgroParisTech comme il y en a tous les matins, et où l'on discute des points scientifiques, des molécules, des livres), nous avons ainsi vu comment calculer la pression de Laplace : en substance, dans une bulle d'air, au sein d'une mousse, il y a une pression d'autant plus grande que la bulle est petite ; et cette pression conduit à la rupture des mousses, les petites bulles, sous forte pression, se vidant au profit des grosses bulles, où la pression est moindre).

La démonstration que les étudiants ont suivie, et qui établissait l'expression mathématique de la pression de Laplace, relevait des connaissances, et l'application au calcul de la hauteur de montée capillaire (qui en résulte), elle, peut en devenir une simple application. Lors de cette application, on s'aperçoit qu'il faut savoir des faits simples, à savoir la variation de pression en fonction de la hauteur dans un liquide, ou le fait qu'à la surface d'un liquide, la pression est égale à la pression atmosphérique. Il y a donc un exercice à proposer pour passer de la force à la hauteur de montée capillaire.

Supposons que, face à ce travail opposé, les étudiants « sèchent ». Que faut-il faire ? Bien sûr, aujourd'hui, ils trouveront en ligne la solution de l'exercice, mais s'ils se contentent de lire cette solution, ils resteront du côté de la connaissance, et ne passeront pas du côté de la compétence. La compétence, c'est donc un travail personnel qui, dans ce cas particulier, consiste à mettre en oeuvre les connaissances.

D'où la question : une compétence est-elle toujours la capacité de mettre en oeuvre des connaissances ?

Note : il y a des cours qui se font par des excercices. On en évidemment conduit à penser que, si ces cours sont bien faits dans le détail, ils seront efficaces, n'est-ce pas ?

Note de la note : à condition que les étudiants n'aillent pas trop vite, ne sautent pas des étapes pourtant bien organisées, dans les cours bien faits.

Note de la note de la note : on n'oublie pas, dans toute cette discussion, que, suivant l'exemple de Michel Eugène Chevreul, je cherche à devenir un jour le doyen des étudiants de France !

Vendredi 21 juin 2013. Des questions : Comment perfectionner la vulgarisation ?

Pour expliquer pourquoi la vulgarisation ne fait pas parfaitement son travail, prenons un exemple : la loi d'Ohm. Au XIXe siècle, le physicien allemand Georg Simon Ohm mesure des différences de potentiel associé des intensités de courant, en faisant passer divers courants dans un même conducteur, et il découvre que le rapport, le quotient, de la différence de potentiel par l'intensité du courant est constant, pour un même conducteur : c'est la résistance électrique de ce conducteur particulier.

Jusque là, la vulgarisation-récit se tient. Et puis, pour expliquer la découverte, il a suffi d'imposer aux interlocuteurs une simple division.

Pourquoi la loi d'Ohm ? Pour arriver aux mécanismes qui sont derrière la loi, il faut maintenant discuter la notion d'électrons et leur propagation dans les conducteurs. Présenter des électrons ? On pourra encore recourir à une expérience : celle d'un tube de Crookes, par exemple, un tube où l'on fait le vide, et où l'on met une différence de potentiel électrique entre deux électrodes, placées aux extrémités du tube. Un récit. Et pour décrire le propagation des électrons dans un conducteur ? n pourra sans doute se limiter à une description en mots.

Toutefois, qui nous prouve que ces récits sont exacts ? Que ce ne sont pas de fantasmagoriques élucubrations, comme le sont les récits des pseudo-sciences ? Les sciences quantitatives ont cela de merveilleux que ce sont pas des récits au hasard, que ce ne sont pas des divagations : parmi l'ensemble des possibilités de mécanisme, c'est l'adéquation des mesures à la théorie qui conduit à la sélection d'un ou de plusieurs mécanismes admissibles.

Passons au second exemple : l'effet photoélectrique, étudié par Albert Einstein. On place deux plaques métalliques en vis-à-vis, à l'intérieur d'un tube en verre où l'on a fait le vide, et l'on applique une différence de potentiel modérée entre les deux plaques. Rien ne se passe.

Puis on éclaire une des plaques, à l'aide d'une lumière de longueur particulière, par exemple du rouge. Rien ne se passe. On augmente l'intensité de la lumière, ce qui correspond à une énergie de plus en plus grande, et rien ne se passe. Puis on change de longueur d'onde de la lumière, passant du rouge au bleu, par exemple et soudain, pour une longueur de particulière, le courant se met à passer.

Jusque là, on a expliqué le phénomène, par un recours à l'expérience, mais comment expliquer le phénomène ? Le calcul, dans ce cas n'est pas difficile ; il est à la portée d'un étudiant de baccalauréat. Mais c'est le calcul qui dit tout ! Bien sur on aurait pu « expliquer » que la lumière est faite de « grains » nommés photons, chacun porteur d'une énergie particulière. Mais comment expliquer l'effet photoélectrique ? Seul le calcul en donne une explication, et ce n'est pas la transcription du calcul avec des mots du langage naturel qui aide à comprendre, au contraire même : les phrases deviennent très longues, les notions s'enchaînent les unes aux autres, et l'on découvre à cette occasion que le calcul formel, où des idées comme l'énergie, la masse... sont remplacés par les lettres, M, E..., est bien est bien plus efficace pour la compréhension que la description avec des mots.

La description avec des mots ne donne pas de compréhension des phénomènes, et seul le calcul - très simple- permet de comprendre combien le travail d'Albert Einstein, dans ces circonstances, était mervielleux. La vraie tâche de la vulgarisation, c'est donc, dans ces cas-là, d'expliquer les calculs !

Comment la vulgarisation s'y prendra-t-elle pour s'améliorer ?