Le soliloque et le calcul

En discutant de simplicité, il m'est venue une idée : celle d'un soliloque « mathématique ». De quoi s'agit-il ? Pour mieux cerner la notion, il faut revenir à l'idée de départ, qui était celle du soliloque. 

Le soliloque est une méthode que j'ai proposée il y a plusieurs années et qui consiste à développer successivement une idée, exprimée par une phrase, à partir de chacun des mots utilisés dans la phrase, puis on répète l'opération. On part de l'énoncé d'une idée, on discute chaque terme, puis on discute alors les termes nouvellement énoncés, et, se construit ainsi, quasi automatiquement ; un discours buissonnant, et donc nécessairement un peu baroque, que l'on peut ensuite « mettre au carré ». 

J'aime assez la comparaison avec un buisson, où des tiges croissent, un peu en désordre, s'entourent de rameux, de feuilles, de sorte qu’immanquablement on arrive à une touffe désordonnée, sans beaucoup de construction apparente, et qu'il faut ensuite rabattre, pour donner une forme voulue. 

Cette méthode du soliloque, nous l'utilisons largement au laboratoire, mais avec des mots du langage naturel, et je n'oublie pas que certains d'entre nous sont si familiers avec les équations, le calcul, les mathématiques, qu'ils en viennent à calculer comme le rossignol chante. 

L'idée qui m'est venue hier, c'est celle d'un soliloque « mathématique », avec des équations que l'on enchaîne ainsi, les unes à la suite des autres. On sait que je distingue deux activités, à savoir les mathématiques et le calcul, la différence portant sur l'objectif : pour les mathématiques, il s'agit de développer… les mathématiques; pour le calcul, il s'agit d'utiliser les mathématiques pour décrire des phénomènes de la nature. Bien sûr, on peut faire de la physique "avec les mains" (cela signifie "avec des mots du langage naturel"), mais il y a alors deux cas : la vulgarisation, que je ne considère pas ici, et pour laquelle les équations sont hors sujet, et cette physique telle que la faisait Pierre-Gilles de Gennes, où presque tout tient dans des lois générales telles que « la surface varie comme le carré du rayon ». Dans un tel cas, on peut y mettre des mots, mais ils sont en réalité inutiles, où, plus exactement, ils ne semblent servir qu'à définir les objets mathématiques que l'on utilise ensuite : on aurait ainsi pu dire A ∼ r2. C'est pour cette activité-là qu'un premier soliloque mathématique est possible. 

 

Mais il y en a un deuxième, un soliloque mathématique proprement dit, pour des mathématiques, et l'on ne saurait en discuter sans se souvenir que Henri Poincaré proposait que les mathématiques ne soient pas déductives, mais inductives. Quel nom pour ces soliloques-là ? Stricto sensu, on ne doit nommer « soliloque mathématique » que celui que je viens de considérer, où il est question de mathématiques, et non de calcul. Pour les sciences de la nature ? Cette fois, il ne s'agit pas de mathématiques, mais de calcul. Devrions-nous dire soliloque calculatoire ? La terminologie n'est guère jolie. Soliloque équationnel ? Là encore, ça sent un peu la transpiration. Soliloque théorique ? Ce serait un peu idiosyncratique, avec l'hypothèse implicite que nous ne considérons que la nature. Soliloque formel ? Cette fois, c'est plus conforme à l'idée que les sciences de la nature font usage de formalismes. 

Je propose de rester à cette terminologie, et à l'envisager maintenant plus en détail. Comment faire un soliloque formel ? Je propose que nous considérions d'abord un cas particulier, et notamment un cas tout récent d'un calcul effectué hier sur la quantité de graisses perdues lorsqu'on extrait ces dernières à l'aide d'un solvant organique. La description initiale consiste à décrire le "modèle", par exemple de façon simple, en imaginant un "compartiment" avec de l'eau et de la graisse, un solvant que l'on pose dessus, et qui extrait la matière grasse en laissant une partie de celle-ci dans le compartiment aqueux. Chaque compartiment est alors caractérisé quantitativement, formellement, par une masse d'eau, de solvant, de graisse présente dans ce compartiment particulier. Ce premier calcul étant fait (il est simple), on développe, en revenant sur chaque notion : par exemple, on considère que la graisse initiale peut-être sous trois forme : surnageant, en solution, en suspension sous la forme de gouttelettes... et l'on écrit les équations de ces trois formes, tout au long du processus d'extraction. Ce second "modèle" étant fait, on peut faire mieux, en considérant que les graisses sont de plusieurs sortes, de sorte que l'on divise la partie "graisses", et attribuant des comportements différents aux graisses solubles dans le solvant, et aux graisses qui ne sont que partiellement solubles. Et ainsi de suite à l'infini. 

Ce soliloque se distingue-t-il d'autres formes plus classiques de modélisation ? Oui... mais je le discuterai une autre fois.

Soyons simples : qu'est-ce qu'une mousse ?

Hélas la familiarité avec les objets de mes études me font parfois oublier d'être simple, d'expliquer correctement ce dont je parle.
Et là on vient de me faire observer très justement que les mots "mousse" et "émulsion", que j'utilise sans cesse et que je croyais bien connus, ne le sont pas. J'ajoute que je vois comme très  légitime que certains de mes amis veuillent être fixés sur des mots que nous utilisons souvent. 

Commençons par le mot mousse, qui désigne ce qui apparaît dans de l'eau savonneuse que l'on agite. Si l'on regarde, simplement, on voit des bulles à la surface de l'eau. Ces bulles forment donc une mousse :   une mousse est définie comme une dispersion de bulles de gaz dans un liquide. 

On trouve cela dans du blanc d'oeuf que l'on bate en neige, où l'on voit bien les bulles au début du battage, même si, à la fin, elles sont trop petites pour être visible à l'oeil nu. 

On les voit moins bien dans de la crème que l'on fouette, mais elles sont encore bien présentes, et c'est leur introduction dans la crème qui donne du volume à cette dernière. 

Les bulles d'air sont également présentes dans diverses préparations alimentaires liquides, telle de la tomate broyée pour faire un gaspacho  : on ne voit pas les bulles mais elles sont présentes, et notamment quand on utilise un siphon. 

Les émulsions sont des systèmes différents : cette fois, il s'agit de disperser un liquide dans un autre liquide avec lequel il ne se mélange pas.

Par exemple de l'eau et de l'huile. Ainsi, si l'on met de l'eau dans un verre et si l'on ajoute de l'huile par-dessus, alors l'usage d'un pied mixeur fait apparaître une sorte de "crème", qui est donc une dispersion de gouttelettes d'huile dans l'eau : c'est une émulsion. 

Dans un tel cas, l'émulsion est très instable : on voit, dès que le battage cesse, des gouttes d'huile remonter vers la surface, fusionner et reformer une couche continue. On dit que l'émulsion a été déstabilisé par "coalescence" des gouttes d'huile. 

Dans d'autres cas, l'émulsion est beaucoup plus stable. Par exemple, si l'on fait la même expérience mais avec un blanc d'oeuf et de l'huile, on forme une espèce de crème blanche que j'ai nommée "geoffroy" et qui est une émulsion de gouttelettes d'huile dispersées dans l'eau. 

La mayonnaise est une émulsion également  : cette fois, c'est le jaune d'œuf qui apporte à la fois l'eau et les molécules qui permettront la stabilisation - relative d'ailleurs- de l'huile. 

La mayonnaise et le prototype de l'émulsion culinaire mais il y en a bien d'autres : le lait, la crème sont des émulsions naturelles, et il n'est donc pas étonnant que l'on puisse ajouter de la matière grasse à du lait ou de la crème pour obtenir des préparations encore plus épaisses. 

Le gaspacho, que nous avons évoqué, peut devenir une émulsion si l'on mixe  de l'huile d'olive dans la tomate broyée  : on voit la couleur rouge s'éclaircir, rosir,   signe que des gouttelettes d'huile ont été dispersées. 

La ganache également est une émulsion  : à de la crème chauffée, on ajoute du chocolat fondu qui vient se disperser en une myriade de petites gouttelettes qui s'ajoutent à celle des gouttelettes de matière grasse du lait. 

Mousses et émulsions sont cousines : dans les deux cas, il y a dispersion de structures dans une phase continue : soit des gouttelettes de liquide, soit des bulles d'air, mais toujours dispersées dans un liquide. 

Il existe un troisième cousin, à savoir les suspensions, mais  ce sera pour une autre fois

Nous devons comprendre !

Dans beaucoup de mes enseignements, je recommande aux étudiants de ne pas supporter de ne pas comprendre mais cette injonction est en réalité épineuse, parce que personne ne comprend tout bien sûr. Quand nous conduisons une voiture, comprenons-nous vraiment ce qui se passe sous le capot ? Savons-nous le détail de tout ce que nous faisons ? De même, quand nous utilisons un ordinateur, comprenons-nous bien tout ce qu'il fait ?
Derrière cette question, il y a la différence que je fais entre le conducteur et le mécanicien.
De fait, si nous supportons de ne pas comprendre comment fonctionne notre ordinateur, pourquoi devrions-nous nous comporter différemment au laboratoire ?
D'abord, parce que, pour le travail de laboratoire, c'est nous le mécanicien ! Mais, surtout, parce que, au delà de nos expérimentations, il y les "questions que nous posons à la nature" : nous devons lui parler dans sa langue, et sa langue est subtile. En outre, au-delà de la compréhension elle-même, il y a la compréhension que nous avons, la théorie que nous nous faisons des gestes que nous faisons, des phénomènes que nous observons.

Par exemple, quand nous préparons une solution, nous avons besoin d'un modèle pour nous demander si les molécules du soluté vont se disperser dans le solvant, ou bien s'agréger en microscopiques agrégats, ou bien se coller aux parois du récipient.

À tout moment, nous devons voir plus que le macroscopique : nous devons interpréter ce dernier en termes microscopiques, puis interpréter le microscopique en termes physiques, et interpréter le physique en termes moléculaires, chimiques.

Mais comprendre, cela signifie aussi avoir une idée quantitative des phénomènes, ce qui revient à calculer autant que nous ne pouvons à propos des divers paramètres pertinents des expérimentations.
Pour reprendre l'exemple de la concentration  d'un soluté dans une solution, combien y a-t-il de molécules de solvant pour une molécule de soluté ?

J'évoque ces questions, parce que je viens d'assister une soutenance où les étudiants n'ont pas fait très fort  : alors que nous avions commencé le semestre par de longs cours pendant  lesquels nous explorions les mécanismes des phénomènes, les travaux de laboratoire (en stage) qu'ils ont fait sont souvent des travaux techniques, sans référence aux phénomènes, aux mécanismes. Ils ont manifestement "conduit une voiture" :  ils ont montré des expérimentations en restant à l'apparence des phénomènes, sans chercher à comprendre. Ce qui est pire, n'ayant pas considéré les mécanismes des phénomènes, ils ont accumulé des expériences insensées, effectué d'innombrables tests sans intérêt, perdant temps, argent, énergie...  alors qu'une réflexion théorique très simple leur aurait permis de guider leurs expérimentations dans la bonne direction et, notamment de les conduire à des hypothèses qu'ils auraient pu tester.

La faute est partagée :  elle doit être attribuée aux étudiants, d'une part, mais aussi aux  enseignants, d'autre part,  puisqu'il n'a pas été clair aux étudiants qu'il s'agissait, dans ces deux cours, d'aller apprendre à chercher les mécanismes des phénomènes.

Comptez sur moi pour que, l'an prochain, cela soit indiqué en très grosses lettres !

Pour terminer, signalons que, après avoir accueilli des centaines d'étudiants au laboratoire, je peux certifier que les meilleurs d'entre eux étaient ceux qui s'interrogaient sur les mécanismes des phénomènes. Bien sûr, il y a une question de culture : ces étudiants là avaient connaissance des possibilités théoriques :  pour la capillarité, le transfert d'électrons, la pression de la place, le log P, et cetera. Mieux encore, certains étaient capables de mettre en œuvre ces connaissances pour en faire des compétences, comme le revendique le référentiel des stages à l'échelon national.

Pour être plus bref et mieux entendu, disons que les meilleurs étudiants sont comme des pitbulls de la connaissance : ils plantent les dents dans un objet intellectuel et ne le relâchent qu'après avoir parfaitement compris l'ensemble de la question.