Derrière l'image d'une courbe en cloche.

Comment construire une courbe en cloche ?
 

L'utilisation des logiciels de calcul formel fait des mathématiques un jeu parce que l'on peut essayer très rapidement des idées que l'on voit immédiatement mises en œuvre. Personnellement, j'utilise le logiciel Maple... au point que c'est devenu mon principal outil : pour calculer, pour écrire, pour penser, pour dessiner, pour faire de la chimie...

Par exemple, si l'on demande au logiciel de tracer la courbe associée à l'équation y = x,  on voit une droite partant de l'origine.
C'est quelque chose qui augmente mais qui ne redescend pas, comme on le voudrait pour une courbe en cloche.
Si l'on teste maintenant l'équation y = 1/x, avec le sentiment que quand x deviendra très grand 1/x deviendra très petit, alors tout va bien du côté des x positifs, mais il y a un problème pour les x négatifs, qui tendront vers moins l'infini en approchant de 0.

On pourrait alors s'amuser à prendre la valeur absolue de 1/x,  auquel cas on aurait deux morceaux: un à gauche qui monte vers l'infini à un droite qui monte vers l'infini.

On a le sentiment d'y être presque. Cela dit, les valeurs absolues sont facilement remplacé par des carrés et on peut donc rester 1 sur x au carré, mais là encore, pour x = 0, la fonction diverge.
Comment faire ? Il s'agit que le dénominateur ne soit jamais nul. Alors pourquoi pas 1/(1+x^2)...  et cette fois on y est :  on a une courbe en cloche [ici, l'accent circonflexe indique une puissance].

A ce stade, nous pourrions nous arrêter, mais on comprend que l'on pourrait aussi avoir une courbe en cloche en remplaçant x^2 par x^4, ou par x^6, par exemple.
Mais ce sont là des puissances, qui font croître la courbe de plus en plus vite... Or la fonction exponentielle croit plus vite que toutes les puissances. Que penser de 1/(1+exp(x^2))  ? Une courbe en cloche ! Ou plus simplement de 1 sur exponentielle de x^2 puisque en 0 l'exponentielle prends la valeur 1 et non 0 ? C'est là l'équation d'une gaussienne, nom donné en l'honneur du merveilleux mathématicien Carl Friedrich Gauss.
La première courbe que nous avons réussi à faire, celle en 1/(1 + x^2= et nommé lorentzienne, et ses "jupes" sont beaucoup plus larges que celles de la gaussienne, si l'on peut dire

Quel bonheur que ces logiciels de calcul formel : en a un clic, on trace la courbe d'une fonction.

Les compétences ? Pensons à une répartition gaussienne

Oui, à propos de compétences, je me suis laissé aller à dire à des amis que, pour une tâche particulière, il n'y avait pas que des bons, loin de là.
Est-ce grave ? Est-ce juste ?

Une répartition utile pour penser est décrite par une "gaussienne", une courbe en forme de cloche qui exprime, en substance, qu'il y a beaucoup de personnes autour de la moyenne (moyennement compétents, pour une tâche particulière), très peu de très mauvais, et très peu de très bons.

J'ajoute aussitôt que cette compétence ne concerne qu'une tâche particulière, et que tel qui est peut-être très incompétent en mathématiques, par exemple, peut-être excellent en géographie, et vice versa.

La courbe gaussienne, la répartition gaussienne, est une loi "universelle", car elle correspond aux situations pour lesquelles de nombreux facteurs déterminent le résultat. Et elle ne vaut que pour une "dimension" particulière... alors que j'ai souvent dit que l'être humain n'est pas un ustensile, pas réductible à une compétence particulière, contrairement à une cruche qui ne peut contenir que de l'eau.

 L'instruction ? Son objectif, au delà des questions de valeurs, de savoir vivre, de savoir être, c'est quand même, pour des compétences qui sont dans le référentiel, de décaler la courbe gaussienne d'un groupe vers plus de compétence. Et sans céder pour autant sur d'autres fronts : les valeurs, par exemple. 

Est-ce grave d'observer  ou de de souvenir de cette courbe gaussienne pour la compétence des différents individus que nous rencontrons ? Non. Car le ciel est bleu : ce qui nous intéresse, ce sont ces gens merveilleux, qui s'évertuent à faire plus, mieux. Pas nécessairement plus que les autres, car la  vertu est sa propre récompense, mais faire plus soi-même.
Au fond, ce sont ceux là que j'admire, et en disant cela, c'est moi que je critique : moi qui ne fait jamais assez, qui me trouve paresseux, veule, égoïste, mesquin, petit... Mais pardonnez-moi :  j'essaie de m'améliorer.

Un émerveillement partagé

Les sciences de la nature sont merveilleuses, dans leur objectif comme dans le moindre pas que l'on fait vers cet objectif. Et puisqu'il est impossible d'enseigner (alors que, je le répète, il est possible pour les étudiants d'apprendre), j'ai proposé que ceux qui accompagnent les étudiants sur le chemin de leurs études soient soit des tuteurs, soit des professeurs. Les tuteurs veillent, protègent, guident. Les professeurs, eux, professent, à savoir que, étymologiquement, ils "parlent devant". Pour dire quoi ? Tout ce qui donnera de l'énergie, de l'envie, de l'enthousiasme, mais aussi, pourquoi pas, tout ce qui éclairera les études. Dans mon cas, je limite les "informations" (que l'on trouve n'importe où) pour me concentrer sur les notions et concepts, les méthodes, les valeurs et des anecdotes. Et c'est à ce titre que je discute souvent le calcul  de l'aire de la gaussienne.


Expliquons.

 La "gaussienne" est une courbe en forme de cloche, et le calcul de son aire, disons de l'aire de la surface entre elle et une ligne droite horizontale sur laquelle reposerait la cloche, est quelque chose qui s'impose de façon assez élémentaire, quand on marche sur le chemin de la science ou de la technologie.

Il y a bien des précisions à donner, pour qui ne connaît pas beaucoup de mathématiques. Et tout d'abord la forme particulière de la "cloche" : on peut en produire plein de différentes, mais la gaussienne est particulière, parce qu'elle est définie par la "courbe de Gauss", du nom de ce génie des mathématiques (on l'a surnommé : le prince des mathématiciens) que fut le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

C'est une fonction "exponentielle", qui croit et décroit très vite, et que l'on rencontre sans cesse en mathématiques, et aussi en statistique. Par exemple, quand on examine un phénomène "bruité", elle survient aussitôt. Un phénomène bruité ? Peser une masse sur une balance, alors qu'il y a des courants d'air.
Bref, se pose la question de calculer la surface sur la courbe, et ce qui est passionnant, dans cette affaire, c'est que les méthodes élémentaires de calcul des "primitives" utilisées pour ce type de travail ne fonctionnent pas.
En réalité, il a fallu l'acharnement et l'intelligence du mathématicien Pierre Simon de Laplace  (1749-1827) pour trouver la première solution au problème... et cette solution est merveilleuse : il s'agit non pas de calculer directement la primitive, mais le carré de la primitive (la primitive multipliée par elle-même). Alors des manipulations permettent de se ramener à un calcul possible de façon élémentaire ; puis on prend la racine carrée du résultat.

Cette façon de contourner un mur est déjà merveilleuse, mais, surtout, c'est le détail de la seconde transformation qui est merveilleux, parce que l'on comprend alors, quand on fait les calculs, que la méthode proposée se fondait sur une bonne connaissance des "symétries" : en gros, si l'on fait tourner la courbe autour de son axe central de symétrie, on obtient une cloche de symétrie cylindrique. Et alors il y un rayon et un angle par rapport à une direction. Mais j'aurais du mal à en dire plus pour qui n'entre pas dans le détail du calcul. Ce n'est pas bien difficile... et voici une invitation à apprendre.

Bref, il y a lieu de s'émerveiller... et une invitation à découvrir les beautés du calcul.