L'idée est en réalité toute simple, pour ce cas précis : il s'agit de calculer l'airz sous la courbe en noir.
A cette fin, on approche cette courbe par une série de rectangles pour lesquels il est facile de calculer l'aire (le produit de la base par la hauteur), et ensuite de faire la somme de toutes les aires de ces rectangles.
Bien sûr, il y a de petites différences entre les rectangles et la courbe, un crénelage, mais en s'y prenant bien on arrive à montrer qu'elles peuvent ne pas être gênantes.
L'idée principale est de considérer la somme des aires pour des rectangles de plus en plus étroits, de sorte que la différence à la courbe devienne de plus en plus petite par rapport à l'aire des rectangles, nulle à la limite.
Cela, c'est pour le calcul intégral, mais ce qui est encore plus beau, c'est que cela correspond à une idée analogue que l'on met en œuvre pour le calcul de la tangente à une courbe en un point.
Pour ce cas, que je ne représente pas, on commence par considérer deux points de part et d'autre du point où l'on veut calculer la tangente et l'on tire une droite entre ces deux points. Elle n'est pas exactement la tangente, mais elle n'en est pas loin.
Puis on rapproche les points de celui qui nous intéresse et progressivement, la droite ainsi tracée converge vers la tangente.
Bien sûr le diable est partout et il y a lieu d'être mathématiquement très propre mais l'idée est là, et elle est sublime. Elle fut découverte par Isaac Newton et pas de Wilhelm von Leibnitz, sous les formes différentes.
N'hésitez pas : recommandez la lecture du livre Calcul différentiel et intégral de Nikolas Piskounov (on le trouve en pdf en ligne).
