À partir d'une image

 

 



Quand on voit une telle image, on ne peut manquer de penser à ce que l'on nomme l'opération de régression linéaire et, aussi, à la possibilité d'une triche !

Souvent, lors des analyses, on obtient une série de valeurs que l'on peut ranger sur un diagramme à deux dimensions,  avec la valeur de commande en abscisse et le signal enregistré en ordonnée. Par exemple, imaginons que l'on mesure l'intensité d'un courant électrique créé par une différence de potentiel électrique, ou l'absorption lumineuse quand on éclaire une solution d'un composé dont on étudie la concentration.

Les couples de valeurs sont ce que l'on nomme des points expérimentaux.
L'opération d'ajustement, qui apparaît en troisième lieu, dans la démarche scientifique, consiste à chercher des relations entre ces points.
Par exemple, souvent, on cherche à savoir s'ils sont alignés, auquel cas il y aurait une relation de proportionnalité entre les valeurs des abscisses et les valeurs des ordonnées.

Pour les commençants, cette opération se fait avec ce que l'on nomme la régression linéaire, et plus précisément la recherche d'une droite par la méthode des moindres carrés, introduite par le merveilleux mathématicien Carl Friedrich Gauss : on cherche une droite qui, ne pouvant passer exactement par tous les points expérimentaux (sauf miracle), passe le mieux possible, ce qui se calcule en minimisant la distance des points à la droite.
La qualité de cet ajustement s'exprime notamment par un paramètres que l'on note R2 (je renvoie vers les cours complets),  et qui s'approche de 1, pour les ajustements qui seraient parfaits (ce qui est impossible). J'ajoute qu'il n'y a pas lieu d'être braqué sur cette méthode, et notamment le R2, et qu'il existe une "hyperbole de confiance" qui mérite d'être mieux connue qu'elle ne l'est.

Mais revenons à notre R2 : comme il s'agit d'expérience, il ne peut y avoir de proportionnalité exacte et R2 sera toujours inférieur à 1.
Certes, dans les bons cas, il pourrait être de 0,99 ou 0,9999 mais pas  1 exactement !
De sorte que si l'on voit un R2 = 1, cela peut signifier soit que la valeur de R2 a été arrondie, ce qui n'est pas à faire puisqu'on laisserait penser à un alignement parfait, soit  que l'on a changé les valeurs des points pour qu'il s'alignent exactement... ce qui n'est pas admissible.
Les points expérimentaux sont des points expérimentaux jamais parfaitement alignés, et la droite que l'on trace est une droite parfaitement rectiligne, mais elle ne peut pas passer exactement par les points expérimentaux.

Il y a un monde entre les points expérimentaux, qui relèvent de l'expérience, et  la droite, qui de relève de la modélisation. Il ne faut pas tout confondre