La poussée d'Archimède

Hier, j'ai évoqué un petit problème mathématique dont le résultat ne cesse de m'étonner, mais je veux partager aujourd'hui l'émerveillement que me procure toujours un calcul... que l'on n'a pas besoin de faire !

Cela concerne la "poussée d'Archimède", cette force qui pousse vers le haut un corps plongé dans un liquide, qu'il soit plus dense ou moins dense que l'eau.
Je ne vais pas revenir sur l'histoire d'Archimède dans sa baignoire, mais je veux aider mes amis plus jeunes à retrouver l'expression de cette force, quand ils l'ont oubliée (ce qui est fréquent)... ou jamais  apprise (un cours où l'on avait fermé les écoutilles, sans doute).

Soit donc un corps plongé dans un liquide : imaginons une bille de bois dans l'eau. Cette bille a une masse, et donc un poids (le poids est proportionnel à la masse, laquelle indique la quantité de matière). Mais on sait que, malgré ce poids, la bille de bois va se mettre à flotter, si on l'introduit dans le liquide. C'est bien l'indication que le liquide excerce une force sur la bille, et, mieux, une force opposée au poids.
Cette force n'est guère mystérieuse : c'est la résultante de toutes les forces de "pression" que le fluide exerce sur la bille. Oui, souvenons-nous quand nous avons plongé sous l'eau un peu profondément : nous avons senti une pression sur les oreilles.

Quelle est l'intensité de cette force ? Sur un corps de forme compliquée, la somme des forces de pression n'est pas facilement calculable, et même sur une sphère, il faut ce que l'on appelle des intégrales doubles... à moins de recourir à l'expérience de pensée suivante :

1. mettons la bille sous l'eau (nous sentons qu'elle a tendance à remonter, mais nous ne la lâchons pas)

2. sur cette bille s'exercent deux forces, à savoir le poids  (que l'on peut connaître en pesant la bille... mais nous n'en aurons pas besoin) et la poussée d'Archimède (que nous ignorons, mais que nous voudrions calculer)

3. imaginons que nous mettions autour de la bille une sorte de feuille de plastique magique, qui colle à la bille mais n'a aucune masse

4. et imaginons que cette feuille de plastique soit à la fois sans aucune masse et rigide (pour résister à la pression exercée par le liquide) ; à ce stade, il y a toujours le poids de la bille, et la poussée d'Archimède

5. à l'aide d'une seringue magique, aspirons la matière de la bille (du bois si c'est du bois)

6. là, le poids devient nul, mais la poussée d'Archimède ne change pas ; c'est la même qu'avant

7. puis, avec cette seringue magique, injectons de l'eau ; là, il y a maintenant le poids de l'eau, et la même poussée d'Archimède qu'avant

8. enfin, enlevons la feuille de plastique : comme il y a de l'eau dans l'eau, elle est en équilibre, ce qui signifie que la poussée d'Archimède est égale au poids de l'eau  qui a été ajoutée.

D'où la conclusion : la poussée d'Archimède est égale au poids du volume d'eau déplacé par le corps qu'on a immergé !
Merveilleux  : on a remplacé des équations compliquées par une expérience de pensée toute simple. Je me répète : je suis émerveillé !