Apprendre les mathématiques

Dans une vie ancienne, j'ai donné des centaines/milliers de cours privés de mathématiques pour gagner ma vie, et je me souviens parfaitement d'une difficulté fréquente que rencontraient les élèves en classes de cinquième, quatrième, troisième, seconde : ils ne parvenaient pas à entrer dans l'algèbre, le plus souvent parce que la représentation d'un nombre quelconque de valeurs par une "variable" leur était quasi inaccessible.

On balayerait la poussière sous le tapis si l'on disait qu'ils étaient incapables d'abstraction, car la question n'était pas là : ces élèves étaient, comme tout être humain, capables de représenter de façon abstraite, puisqu'ils étaient capables de parler, d'associer le mot "chat" à l'animal, et, mieux, à la catégorie d'animaux correspondant à l'espèce.
En outre, finalement, nous avons toujours réussi à passer l'obstacle de façon "opérative" : par des exemples, répétés, en y passant du temps, en expliquant bien les "règles du jeu", et notamment en expliquant tous les termes, lentement, on parvient à éclairer  les plus...

Les plus quoi, au fait : ceux qui veulent vraiment comprendre, aller au fond des choses  ? Laurent Schwartz a bien expliqué que ses débuts, en mathématiques, étaient laborieux, lents, parce qu'il mettait tout en place dans son esprit, à la manière de pièces de puzzle que l'on dépose en ménageant les relations avec les pièces voisines. Et puis, il est quand même vrai que tous les manuels de mathématiques, tous les cours ne se valent pas... souvent, d'ailleurs, parce que les auteurs de ces cours ou manuels n'ont peut-être pas bien compris eux-mêmes ? Allons, cette dernière remarque me fera boire la ciguë !

Disons que, bien souvent, les étudiants ont du mal parce qu'ils vont trop vite, qu'ils n'y passent pas assez de temps, qu'ils n'ont pas compris, ou pas voulu comprendre, ou pas cherché à comprendre, que l' "étude" ne se résume pas à la lecture rapide de textes que l'on ne digère pas. Certains professeurs parlent de "ce qui entre d'un côté et sort par l'autre", et là est bien la question : il faut du temps pour "assimiler". Il faut un travail d'absorption, qui n'est qu'une première étape, mais il faut ensuite un travail d'assimilation, qui est le plus long, avant, sans doute, un travail de restitution (pardon pour la triviale métaphore filée !).


Les mots comptent !


Tout cela me revient à l'esprit, parce que je reçois une question d'un jeune ami, qui ne "comprend" pas la définition suivante, que je traduirai après l'avoir donnée tel qu'il me l'a transmise  :
Definition 1. A constant number a is said to be the limit of a variable x, if for every preassigned arbitrarily small positive number ε it is possible to indicate a value of the variable x such that all subsequent values of the variable will satisfy the inequality  |(x - a)| < ε.

En français, cela donne :
Définition 1. On dit qu'un nombre constant a est la limite d'une variable x si, pour tout petit nombre positif ε choisi arbitrairement, on peut indiquer une valeur de la variable x telle que, pour toutes les valeurs suivantes de la variable, on a l'inégalité   |(x - a)| < ε.

Et mon jeune ami, me disant qu'il ne comprend pas cette définition, ajoute :

I take this to mean
The variable x has a limit of a (a constant number) if for every subsequent value of x, the |(x - a)| is less than a preassigned arbitrarily small positive number, ε.

Je suppose que cela signifie :
La variable x a une limite a (un nombre constant) si, pour toute valeur suivante de x,  |(x - a)|  est moins qu'un nombre petit positif défini arbitrairement.


J'ai répondu à mon ami que ce qu'il proposait ne convenait pas, parce qu'une variable n'a rien : a est une limite, mais la variable x n'a pas de limite, en quelque sorte.
D'autre part, on ne peut pas parler d'une valeur suivante si l'on n'a pas une valeur de férérence.
Enfin, et surtout, la définition -telle que je la lis lentement- me convient parfaitement  ! Alors que la phrase proposée par mon ami est fautive.


Comment pourrions-nous mieux formuler la définition, pour mieux la comprendre ? 

Avec un dessin, par exemple ?

Ici, on a marqué la valeur de la limite a, et une valeur de x que j'ai nommée x1. Les autres valeurs de x (les valeurs "suivantes") sont toutes à droite de x1, et la différence a-x1 correspond ici à ε.

Ou encore, on peut voir la définition comme : je choisis une petite valeur ε. Le nombre a est la limite si je trouve une valeur x1 de pour laquelle la différence entre a et x1 est inférieure à ε, ainsi que toutes les valeurs suivantes de x.

Bref, je peux me familiariser, au sens du Petit Prince et du renard de Saint-Exupéry, avec la définition qui m'a été proposée. Je peux y passer du temps pour la comprendre, pour la tourner et la retourner dans tous les sens...
Pour l'admirer, aussi, parce que, sans prendre le temps de l'expliquer ici, j'y vois beaucoup de subtilité, et des discussions possibles.
Et, surtout, je vois que les changements, ou les commentaires, que je peux faire, à propos de la définition initiale, doivent être prudents.

Mon ami me disait espérer ne pas être importun avec sa question, mais je lui ai répondu que, au contraire, les remarques ou incompréhensions comme les siennes sont la possibilité d'analyse, donc de progrès didactiques.

Finalement, oui, vita brevis ars longa !