A propos d'incertitudes

 

Hier, une question qui revient sans cesse à propos de mesures, d'incertitudes de mesure, et de répétition d'expériences.

Un ami  en stage au laboratoire fait une expérience et, faisant plusieurs mesures d'une même grandeur, obtient - c'est bien- des valeurs évidemment différentes,  puisque si l'instrument de mesure est  très précis, il est sensible aux mille perturbations environnantes.
Ayant ces différentes valeurs, il calcule donc légitimement une moyenne et un écart type,  afin de décrire les résultats, en tenant compte de la dispersion des mesures.
Puis il décide de répéter l'expérience, ce qui le  conduit à une autre moyenne,  assortie d'un autre écart-type.
Et il répète encore l'expérience plusieurs fois,  calculant chaque fois  une moyenne et un écart-type.
Il s'interroge maintenant sur l'incertitude de ses résultats complets : doit-il faire une moyenne des moyennes, ou bien la moyenne de tous les résultats ? Et quelle est l'incertitude pour les deux cas ?

Je crains d'être obligé de faire le calcul, qui est très simple : est-ce une bonne explication, si nos interlocuteurs ne savent pas ou n'aiment pas calculer ?
Commençons par les moyennes.
Nous nommerons
                           "m[i, j]"

 la j-ième mesure de la i-ième expérience. Nous considérons n expériences, et p mesures pour chacune.
Dans le cas "séparé". Pour chaque expérience, la moyenne est donnée simplement par :

              "M[i] = sum(m[i, j], j = 1 .. p)/p"

Et si l'on fait la moyenne de toutes les n moyennes, on a :
M = sum(M[i], i = 1 .. n)/n and sum(M[i], i = 1 .. n)/n = sum(sum(m[i, j], j = 1 .. p)/p, i = 1 .. n)/n and sum(sum(m[i, j], j = 1 .. p)/p, i = 1 .. n)/n = sum(sum(m[i, j], j = 1 .. p), i = 1 .. n)/(n*p);

Bref, c'est la moyenne de toutes les mesures.
Pour les incertitudes, de même, on retrouve le même résultat (heureusement !), à condition de savoir que le GUM du Bureau international des poids et mesures indique que pour, une variable composée, l'incertitude doit être prise égale à la racine carrée de la somme des carrés des dérivées partielles par le carré des incertitudes.

Surtout, notre ami a ainsi compris que l'incertitude diminue avec le nombre de mesures effectuées: plus on fait de mesures, plus la moyenne s'approche de la véritable valeur cherchée, et plus on caractérise la mesure, en quelque sorte.